不可达基数（1 / 2）

理解不可达基数，需要六块拼图。

可数，不可数，后继，极限，正则，奇异。

不可达基数就是指不可数正规的强极限基数，如果是不可数正规的极限基数，则称之为弱不可达基数。可数就是指小于等于阿列夫零的基数。反之不可数就是指大于阿列夫零的基数。后继，就是指比它小的基数中有最大值，极限就是指比它小的基数中没有最大值，强极限就是比它小的任意基数中，2的次方均小于它。正规就是到达它的最短长度等于本身，也就是若k是正则基数，则不存在小于k个小于k的集组之并的基数为k，或者说不存在小于k个严格递增的序列，其极限为k。奇异就是到达它的最短长度小于本身。对于基数k，存在小于k的严格递增的序列的极限为k，则k为奇异基数。正规和奇异基数引入了共尾度的概念，共尾度就是到达它的最短长度。后继序数的共尾度是1。正则基数就f(k)=k，奇异基数就f(k)<k。

不可达基数k就是对任意小于k的基数，取幂集的基数仍然小于k并且由任意小于k个小于k的集组之并的基数仍然小于k。而对比弱不可达基数只要满足<k的任意基数的后继仍然<k就行。而具有以上相同性质的可数基数就是阿列夫零。

举个例子f(1)=1f(任意有限数)=1f(ω)=ωf(ω_1)=ω_1(不存在长度是ω的序列，因为小于ω_1的基数是可数的，但可数个可数集之并(也就是它们的上确界)可数，不可能是ω_1)f(ω_ω)=ω(长度ω的序列取ω，ω_1，ω_2，ω_3，……)。

对于极限序数，f()f(ω_)，所以对于不可达基数k，k=ω_k，但是，这样的奇异不动点非常多。比如说是任意的基数，然后设序数列ω_，ω_(ω_)，……设k是它们的确界，很显然容易证明k=ω_k，但是很遗憾，这基数仍然还是奇异基数，并且它的共尾度是ω。

好了。以下基数的性质。