假设\kpp是最小的不可达基数，那么\left\{\lph\lt\kppf\left(\lph\right)=\lph\right\}不是\kpp的平稳子集，因为\left\{\lph\lt\kppf\left(\lph\right)\lt\lph\right\}作为\kpp的无界闭子集与其相交为空。
若\kpp是第\lph\lt\kpp个不可达基数，\left\{\lph\lt\kppf\left(\lph\right)=\lph\right\}依旧不是\kpp的平稳子集，取\kpp中最大的不可达基数\lbd，\left\{\lph\lt\kpp:\lbd\lt\lph\right\}作为\kpp的无界闭子集与其相交为空。
因此，倘若\left\{\lph\lt\kppf\left(\lph\right)=\lph\right\}是\kpp的平稳子集，那么\kpp会是第\kpp个不可达基数。
假设V\dels\bx{ZFC}，对任意公式Q_{1}x_{1}，…，Q_{}x_{}\vrphi_{i}\left(x_{+1}，…，x_{n}\right)，定义函数f_{\vrphi_{i}}:V^{n}\rightrrV
若Q_{1}x_{1}为\existsx_{1}，并且V\delsQ_{1}x_{1}，…，Q_{}x_{}\vrphi_{i}\left(x_{+1}，…，x_{n}\right)，则f_{\vrphi_{i}}\left(x_{+1}，…，x_{n}\right)为秩最小的使得\existsx\inV_{\lph}Q_{2}x_{2}，…，Q_{}x_{}\vrphi_{i}\left(x_{+1}，…，x_{n}\right)成立的V_{\lph}，倘若这样的x不存在，则为0
若Q_{1}x_{1}为\frllx_{1}，并且V\delsQ_{1}x_{1}，…，Q_{}x_{}\vrphi_{i}\left(x_{+1}，…，x_{n}\right)，则f_{\vrphi_{i}}\left(x_{+1}，…，x_{n}\right)为秩最小的使得\existsx\inV_{\lph}\negQ_{2}x_{2}，…，Q_{}x_{}\vrphi_{i}\left(x_{+1}，…，x_{n}\right)成立的V_{\lph}，倘若这样的x不存在，则为0
令F=\left\{\vrphi_{n}:n\in\eg\right\}是对所有公式的枚举，定义
f_{F}\left(x_{1}，…，x_{n}\right)=\bip\left\{f_{\vrphi_{n}}\left(x_{1}，…，x_{n}\right):\vrphi_{n}\inF\right\}，即为某个V_{\g}，其包含了最底限的使得形如\existsx\vrphi\left(x，…，x_{n}\right)类命题成立的x，若不包含使得形如\existsx\neg\vrphi\left(x，…，x_{n}\right)类命题成立的x，即意味着\neg\existsx\neg\vrphi\left(x，…，x_{n}\right)\leftrightrr\frllx\vrphi\left(x，…，x_{n}\right)成立。既然\frllx\vrphi\left(x，…，x_{n}\right)在V中成立自然也不可能存在这样的x。
任取V_{\g}递归定义：
V_{\g}^{0}=V_{\g}；
V_{\g}^{n+1}=V_{\g}^{n}p\bip\left\{f_{F}\left(x_{1}，…，x_{n}\right):x_{1}，…，x_{n}\inV_{\g}^{n}\right\}；
V_{\lbd}=\bip_{n\in\eg}V_{\g}^{n}
则V\dels\vrphi\left(x_{1}，…，x_{n}\right)\leftrightrrV_{\lbd}\dels\vrphi\left(x_{1}，…，x_{n}\right)，若V中不存在世界基数，则V=V_{\lbd}，\lbd是最小的世界基数（rlrdinl），亦即最小的使得V_{\lbd}\delsZFC的\lbd
若\kpp为不可达基数，同样有V_{\kpp}\dels\bx{ZFC}。对任意形如\existsx{\vrphi_{i}}\left(x，x_{1}，…，x_{n}\right)的公式，定义函数g_{\vrphi_{i}}:{\kpp}\rightrr{\kpp}为对任意x_{1}，…，x_{n}\inV_{\lph}，\existsx\inV_{g_{\vrphi_{i}}\left(\lph\right)}{\vrphi_{i}}\left(x，x_{1}，…，x_{n}\right)^{V_{\kpp}}，V_{g_{\vrphi_{n}}\left(\lph\right)}即秩最小的\left\{x:{\vrphi_{i}}\left(x，x_{1}，…，x_{n}\right)^{V_{\kpp}}\right\}p{V_{\lbd}}\ne\的\lbd。而对任意形如\existsx{\vrphi_{i}}\left(x\right)的公式，定义函数g_{\vrphi_{i}}:{\kpp}\rightrr{\kpp}，V_{g_{\vrphi_{i}}\left(\lph\right)}即秩最小的包含V_{\lph}且\left\{x:{\vrphi_{i}}\left(x\right)^{V_{\kpp}}\right\}p{V_{\lbd}}\ne\的\lbd。
令F=\left\{\vrphi_{i}:i\in\eg\right\}是对所有公式的枚举，定义g_{F}\left(\lph\right)=\bip\left\{g_{\vrphi_{i}}\left(\lph\right):\vrphi_{i}\inF\right\}，则每一个满足g_{F}\left(\lph\right)=\lph的\lph都是世界基数。
定义\Psi\left(0，S\right)=\Psi\left(S\right)，S为任意长序数串。如\Psi\left(0，\lph\right)=\Psi\left(\lph\right)，\Psi\left(0，\lph，\bet\right)=\Psi\left(\lph，\bet\right)，特别地，\Psi\left(\lph\right)=g_{F}\left(\lph\right)
\Psi(S，\lph，Z，\bet)=\in\{\g|\frll\delt<\lph(\Psi(S，\delt，\g，Z)=\g)\lnd\frll\delt<\bet(\Psi(S，\lph，Z，\delt)<\g)\}，其中0\lt\lph，S为任意长（可以为0）序数串，Z为任意长（可以为0）的0字符串
如\Psi\left(\lph，\bet\right)，这里S和Z的长度均为0，从而对于所有\delt\lt\lph，\Psi\left(\delt，\Psi\left(\lph，\bet\right)\right)=\Psi\left(\lph，\bet\right)，并且对所有\delt\lt\bet，\Psi\left(\lph，\delt\right)\lt\Psi\left(\lph，\bet\right)
后半段的情况是平凡，这里需要注意的是前半段，Z发生了移位，这表明了\lph的递减会使得右边第一个数\bet变为0，并且需要看往左数第一个非0序数，也正是发生的另一个改变的数——\lph右边第一个0代替了\bet成为了\delt管束下的变元，就如\Psi\left(\lph，\bet\right)中\bet受\lph管束。
以\Psi\left(1，0，0\right)为例，由于要求0\lt\lph，所以这里\lph只能是1，S再次长度为0，\bet倒是固定最右。由于小于1的数只有0，所以这里发生的改变是0右边的0变成变元，而\bet归零，\Psi\left(1，0，0\right)将成为\Psi\left(0，x，0\right)的不动点。而开始已经说了，首位为0的情况直接去除，也就是\Psi\left(0，x，0\right)=\Psi\left(x，0\right)。
而这里，之所以\bet要归零只留一个变元是在于\lph\leq\Psi_{\lph}\left(0\right)\lt\Psi_{\lph}\left(\bet+1\right)，因此不存在\Psi_{\lph}\left(\lph\right)=\lph。
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