基本介绍：在平面区域上的二重积分也可以通过沿区域的边界曲线上的曲线积分来表示。
详细介绍
折叠单连通区域的概念：设d为平面区域,如果d内任一闭曲线所围的部分区域都属于d,则d称为平面单连通区域;否则称为复连通区域。通俗地讲,单连通区域是不含”洞”(包括”点洞”)与”裂缝”的区域。
折叠区域的边界曲线的正向规定：设是平面区域的边界曲线,规定的正向为:当观察者沿的这个方向行走时,平面区域(也就是上面的d)内位于他附近的那一部分总在他的左边。简言之:区域的边界曲线的正向应符合条件:人沿曲线走,区域在左边，人走的方向就是曲线的正向。
折叠格林公式：【定理】设闭区域由分段光滑的曲线围成,函数及在上具有一阶连续偏导数,则有
(1)∮cp(x,y)dxq(x,y)dy=∫∫d(dq/dx-dp/dy)dxdy
其中是的取正向的边界曲线.
公式(1)叫做格林公式.
【证明】先证：假定区域的形状如下(用平行于轴的直线穿过区域,与区域边界曲线的交点至多两点)
易见,图二所表示的区域是图一所表示的区域的一种特殊情况,我们仅对图一所表示的区域给予证明即可.
另一方面,据对坐标的曲线积分性质与计算法有
因此
再假定穿过区域内部且平行于轴的直线与的的边界曲线的交点至多是两点,用类似的方法可证
综合有当区域的边界曲线与穿过内部且平行于坐标轴(轴或轴)的任何直线的交点至多是两点时,我,同时成立.将两式合并之后即得格林公式
注:若区域不满足以上条件,即穿过区域内部且平行于坐标轴的直线与边界曲线的交点超过两点时,可在区域内引进一条或几条辅助曲线把它分划成几个部分区域,使得每个部分区域适合上述条件,仍可证明格林公式成立.格林公式沟通了二重积分与对坐标的曲线积分之间的联系,因此其应用十分地广泛.
相关介绍：对坐标的曲线积分与路径无关的定义
【定义一】设是一个开区域,函数,在内具有一阶连续偏导数,如果对于内任意两点,以及内从点到点的任意两条曲线,,等式恒成立,就称曲线积分在内与路径无关;否则,称与路径有关.定义一还可换成下列等价的说法若曲线积分与路径无关,那么即:在区域内由所构成的闭合曲线上曲线积分为零.反过来,如果在区域内沿任意闭曲线的曲线积分为零,也可方便地导出在内的曲线积分与路径无关.
【定义二】曲线积分在内与路径无关是指,对于内任意一条闭曲线,恒有
折叠曲线积分与路径无关的条件
【定理】设开区域是一个单连通域,函数,在内具有一阶连续偏导数,则在内曲线积分与路径无关的充分必要条件是等式在内恒成立.证明:先证充分性在内任取一条闭曲线,因单连通,故闭曲线所围成的区域全部在内.从而在上恒成立.由格林公式,有依定义二,在内曲线积分与路径无关.再证必要性(采用反证法)假设在内等式不恒成立,那么内至少存在一点,使不妨设由于在内连续,在内存在一个以为圆心,半径充分小的圆域,使得在上恒有由格林公式及二重积分性质有这里是的正向边界曲线,是的面积.这与内任意闭曲线上的曲线积分为零的条件相矛盾.故在内等式应恒成立.注明:定理所需要的两个条件缺一不可.【反例】讨论,其中是包围原点的一条分段光滑曲线且正向是逆时针的.这里除去原点外,在所围成的区域内存在,连续,且.在内,作一半径充分小的圆周在由与所围成的复连通域内使用格林公式有
高斯公式
高斯定理，静电场的基本方程之一，它给出了电场强度在任意封闭曲面上的面积分和包围在封闭曲面内的总电量之间的关系。
高斯定理定义：通过任意闭合曲面的电通量等于该闭合曲面所包围的所有电荷量的代数和与电常数之比。应用学科：电力（一级学科）；通论（二级学科）
折叠高斯定理:矢量分析的重要定理之一。穿过一封闭曲面的电通量与封闭曲面所包围的电荷量成正比。换一种说法：电场强度在一封闭曲面上的面积分与封闭曲面所包围的电荷量成正比由于磁力线总是闭合曲线，因此任何一条进入一个闭合曲面的磁力线必定会从曲面内部出来，否则这条磁力线就不会闭合起来了。如果对于一个闭合曲面，定义向外为□□线的指向，则进入曲面的磁通量为负，出来的磁通量为正，那么就可以得到通过一个闭合曲面的总磁通量为0。这个规律类似于电场中的高斯定理，因此也称为高斯定理
电场强度e在任意面积上的面积分
称为电场强度对该面积的通量。根据库仑定律可以证明电场强度对任意封闭曲面的通量正比于该封闭曲面内电荷的代数和，(1)
这就是高斯定理。它表示，电场强度对任意封闭曲面的通量只取决于该封闭曲面内电荷的代数和，与曲面内电荷的分布情况无关，与封闭曲面外的电荷亦无关。在真空的情况下,Σq是包围在封闭曲面内的自由电荷的代数和。
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