1828年，阿贝尔开始了他曾经研究过的问题，椭圆形长度和面积的问题。
椭圆形的长度和面积是一个难题，数学大师勒让德对这个难题研究多年，但没有明晰的答案。
椭圆形长度有三个带积分方程的解法，每个解法都有优点，也有自己的毛病，所以阿贝尔想找一个更加合适的去解决这个问题。
勒让德知道表示椭圆长度的方程不能用初等函数的式子表示，但是还是取了近似。
这种近似让阿贝尔看出了这个近似公式的反函数是一种简单一些的三角函数公式，而三角函数的加减乘除运算时很简单的，勒让德为什么没有用这个思路，阿贝尔不清楚，但是阿贝尔认为，使用这个思路会很方便的对椭圆长度线进行轻松的加减乘除运算。
他把椭圆函数定义域展开到了复数域，发现了椭圆函数的双周期性。
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